第一章 矩阵与方程组
1.1 线性方程组
含有 \(m\) 个方程和 \(n\) 个未知量的线性方程组
\[
\begin{split}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2 \\
&\vdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m \\
\end{split}
\]
称为 \( m\times n \) 的线性方程组。
称有解的线性方程组是相容的，称无解的线性方程组为不相容的。
称有相同解集的方程组为等价的。
通过初等行运算可以得到等价方程组：
- 交换两行
- 以非零实数乘以某行
- 将某行替换为它与其他行的倍数的和
形如
\[
\begin{split}
3x_1+2x_2+x_3&=1 \\
x_2-x_3&=2\\
2x_3&=4
\end{split}
\]
的方程组为严格三角方程组，一个有唯一解的 \( n \times n \) 方程组一定等价于一个严格三角方程组。
对于
\[
\begin{split}
x_1+2x_2+x_3&=3 \\
3x_1-x_2-3x_3&=-1\\
2x_1+3x_2+x_3&=4
\end{split}
\]
，
\[
\left [
\begin{matrix}
1&2&1\\
3&-1&-3\\
2&3&1
\end{matrix}
\right ]
\]
为其系数矩阵，
\[
\left [
\begin{array}{c|c}
\begin{matrix}
1&2&1\\
3&-1&-3\\
2&3&1
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
3\\
-1\\
4
\end{matrix}
\end{array}
\right ]
\]
为其增广矩阵。
1.2 行阶梯形
对于
\[
\begin{split}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=1 \\
x_3+x_4+2x_5&=0\\
x_5&=3
\end{split}
\]
称\(x_1\)，\(x_3\)，\(x_5\)为首变量，\(x_2\)，\(x_4\)为自由变量，自由变量给定时，方程有唯一解。
下列矩阵为行阶梯形的：
\[
\left[
\begin{matrix}
1&4&2\\0&1&3\\0&0&1
\end{matrix}
\right]
,
\left[
\begin{matrix}
1&3&1&0\\0&0&1&3\\0&0&0&0
\end{matrix}
\right]
\]
通过行运算\(\mathrm{I}, \mathrm{II}, \mathrm{III}\)得到行阶梯形的过程称为高斯消元法。
\(m>n\)的方程组称为超定方程组，\(m<n\)的方程组称为亚定方程组，亚定方程组不可能有唯一解。
将一个行阶梯形每列首变量\(1\)之上的所有元均消去，得到的结果矩阵为行最简形的。
将矩阵化为行最简形的过程称为高斯-若尔消元法（高斯-约旦消元法）。
应用1：交通流量
在每一入口，必有进入的车辆数和离开的车辆数相等。
应用2：电路
基尔霍夫定律：
- 任一节点上流出电流的量等于流入电流的量。
- 任一回路上电压的代数和等于各元件压降的代数和。
应用3：化学方程式
如果线性方程组的右端项全为\(0\)，则称其为齐次的。
若\(n>m\)，则\(m\times n\)的齐次线性方程组有非平凡解（称\((0,0,\cdots,0)\)为平凡解）。
对于一个化学方程式的配平，可以得到一个齐次线性方程组。
应用4：商品交换的经济模型（昂惕夫模型）
| F（农民） | M（手工业者） | C（制衣工人） | |
|---|---|---|---|
| F | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
| M | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
| C | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
表格的第一列表示农民将收成的\(\dfrac{1}{2}\)留给自己，\(\dfrac{1}{4}\)给手工业者，\(\dfrac{1}{4}\)给制衣工人。
通过第一行可以得到\(\dfrac{1}{2}x_1+\dfrac{1}{3}x_2+\dfrac{1}{2}x_3=x_1\)，解线性方程组得到每种产品的价值。
1.3 矩阵算数
矩阵中的元素称为标量，通常为实数或复数。
用大写字母\(A,B,C\)等表示矩阵，
\[
A=
\left[
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}
\right]
\]
有时也简记为\(A=(a_{ij})\)。
具有 \(m\) 个线性方程和 \(n\) 个变量的线性方程组的解是一个由实数组成的\(n\)元组，我们称这种\(n\)元组为向量。
将\(n\)元组表示为一个\(1\times n\)的矩阵，则称为行向量，表示为一个\(n\times1\)的矩阵，则称为列向量。
所有\(n\times1\)的矩阵构成的集合称为\(\boldsymbol{n}\)维欧几里得空间，通常记为\(R^n\)。
常用向量表示列向量，用\(x,y\)表示；本书用\(\vec{x},\vec{y}\)表示行向量，即
\[
\vec{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4),
y=\left[\begin{matrix}
y_1\\y_2\\y_3\\y_4
\end{matrix}\right]
\]
用\(a_j\)表示\(A\)的第\(j\)个列向量，本书用\(\vec{a}_i\)表示\(A\)的第\(i\)个行向量，
\[
A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)或
A=\left[\begin{matrix}
\vec{a}_1\\\vec{a}_2\\\vdots\\\vec{a}_m
\end{matrix}\right]
\]
若两个矩阵的维数和对应元素相等，则这两个矩阵相等。
标量乘法：若\(A=\left[
\begin{matrix}
4&8&2\\6&8&10\end{matrix}
\right]\)，则\(\frac{1}{2}A=\left[
\begin{matrix}
2&4&1\\3&4&5
\end{matrix}
\right]\)。
矩阵加法：两个相同维数的矩阵对应元素相加。
用\(O\)表示与\(A\)维数相同且元素全为\(0\)的矩阵，则\(A+O=O+A=A\)，\(O\)为所有\(m\times n\)矩阵集合中关于加法的单位元。
记加法的逆元为\(-A\)，\(-A=(-1)A\)。
矩阵的标量积：若
\[
A=\begin{bmatrix}
a_1&a_2&\cdots&a_n
\end{bmatrix}
,x=\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{bmatrix}
\]
则
\[
Ax=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n
\]
矩阵乘法：若
\[
A=
\left[
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}
\right]
,x=\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{bmatrix}
,b=\begin{bmatrix}
b_1\\b_2\\\vdots\\b_m
\end{bmatrix}
\]
则
\[
Ax=\left[
\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\
\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n
\end{matrix}
\right]
\]
且
\[
Ax=b等价于\begin{split}
&a_{11}x_1+&a_{12}x_2+\cdots+&a_{1n}x_n&=&b_1 \\
&a_{21}x_1+&a_{22}x_2+\cdots+&a_{2n}x_n&=&b_2 \\
&&&&\vdots \\
&a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2+\cdots+&a_{mn}x_n&=&b_m \\
\end{split}
\]
若\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)为\(R^m\)中的向量，且\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)为标量，则称\(c_1a_1+c_2a_2+\cdots+c_na_n\)为\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)的一个线性组合。
\[
Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n
\]
\(Ax=b\)相容的一个充要条件是\(b\)可以写为\(A\)列向量的一个线性组合。
一般地，若矩阵\(A\)的行数等于矩阵\(B\)的列数，则
\[
AB=(Ab_1,Ab_2,\cdots,Ab_n)
\]
即若\(AB=C\)，则
\[
c_{ij}=\vec{a}_ib_j=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\]
矩阵的乘法不满足交换律。
应用1：生产成本
应用2：管理科学——层次分析法
权重向量\(w=\begin{bmatrix}0.40\\0.40\\0.20\end{bmatrix}\)，相对评级\(a_1=\begin{bmatrix}0.50\\0.25\\0.25\end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix}0.20\\0.50\\0.30\end{bmatrix},a_3=\begin{bmatrix}0.25\\0.50\\0.25\end{bmatrix}\)
相对评级向量\(r=Aw=\begin{bmatrix}0.33\\0.40\\0.27\end{bmatrix}\)，第二位候选人胜出。
将于第5、6章扩展
应用3：信息检索
符号规则：乘法先于加法计算。
矩阵的转置：\(A\)的转置用\(A^T\)表示：若\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)，则\(A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\)。
若\(A\)满足\(A^T=A\)，则称\(A\)为对称的。
数据库矩阵的转置乘以搜索向量得到匹配结果，表示每个文档包含关键字的相对频率。
将于第5、6章扩展
